Question

（2007•红桥区一模）已知双曲线C：

x2

3

-y2=1，F是右焦点，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线，垂足为P，过点P作x轴的垂线，垂足为A．
（Ⅰ）求

PA

•

OP

；
（Ⅱ）若直线y=kx+m（m≠0）与双曲线C交于 M、N两点，点B（0，-1），且|MB|=|NB|，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由双曲线方程求出其焦点坐标，渐近线方程设出P点坐标，由FP垂直于直线l列式求出P的坐标，然后求出对应向量的坐标，直接代入数量积公式求解；
（Ⅱ）联立直线方程与双曲线方程，由根与系数关系求出MN的中点坐标，写出MN的垂直平分线方程，代入B点坐标后得到直线的斜率和在y轴上的截距的关系，结合所得一元二次方程的判别式大于0求得m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由双曲线C：

x2

3

-y2=1知，F（2，0），
第一、三象限的渐近线l：y=

3

3

x
设点P (x，

3

3

x)，∵FP⊥l，∴

3 3 x

x-2

•

3

3

=-1，
∴x=

3

2

，∴P(

3

2

，

3

2

)，A(

3

2

，0)

PA

=(0，-

3

2

)，

OP

=(

3

2

，

3

2

)，
∴

PA

•

OP

=-

3

4

；
（Ⅱ）由

y=km+m x2-3y2=3

得：（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），M、N的中点为H （x₀，y₀），
则△=（6km）²-4（1-3k²）（-3m²-3）=12（m²+1-3k²）＞0，
x1+x2=

6km

1-3k2

，x0=

x1+x2

2

=

3km

1-3k2

，y0=kx0+m=

m

1-3k2

，
即H（

3km

1-3k2

，

m

1-3k2

），
则线段MN的垂直平分线为：y-

m

1-3k2

=(-

1

k

)(x-

3km

1-3k2

)，
将点B（0，-1）的坐标代入，化简得：4m=3k²-1，
则由

m2+1-3k2＞0 4m=3k2-1

，得：m²-4m＞0，解之得m＜0或m＞4，
又4m=3k²-1＞-1，所以m＞-

1

4

，
故m的取值范围是(-

1

4

，0)∪(4，+∞)．

点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了平面向量数量积的应用，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，利用根与系数关系是解题过程中常用的方法，此题是难题．