Question

某几何体的直观图与三视图如下，其中主视图、俯视图都是直角三角形，左视图是等边三角形．
（Ⅰ）证明：AB⊥CD；
（Ⅱ）求该几何体的体积．

Answer 1

分析：（I）由三视图知三棱锥A-BCD中，面ABC⊥面BCD，∠BCD=90°，AC=CD=BC，利用面面垂直的性质，即可证得结论；
（II）利用三棱锥的体积公式，即可得到结论．

解答：解：（I）由三视图知三棱锥A-BCD中，面ABC⊥面BCD，∠BCD=90°，AC=CD=BC，…（4分）
∵面ABC⊥面BCD，面ABC∩面BCD=BC，CD⊥BC，
∴CD⊥面ABC，
∵AB?面ABC，
∴CD⊥AB．…（8分）
（II）三棱锥A-BCD的体积为V=

1

3

•S△ABC•CD=

1

3

•

1

2

•2a•

3

a•2a=

2 3

3

a3． …（12分）

点评：本题考查面面垂直的性质，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．