Question

定点N（1，0），动点A、B分别在图中抛物线y²=4x及椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的实线部分上运动，且AB∥x轴，则△NAB的周长l取值范围是（　　）

• A、（

  2

  3

  ，2）
• B、（

  10

  3

  ，4）
• C、（

  51

  16

  ，4）
• D、（2，4）

Answer 1

分析：根据抛物线和椭圆的方程可知准线方程分别为x=-1和x=4，分别过点A、B作AA₁⊥l2于A₁，BB₁⊥l1于B₁，根据抛物线和椭圆的性质可知|BN|=e|BB₁|和|AN|=|AA₁|，代入△NAB的周长|AN|+|AB|+|BN|中，根据抛物线和椭圆的交点及椭圆的右端点可确定B点的横坐标的范围，进而确定周长的范围．

解答：解：分别作出椭圆准线l₁：x=4与抛物线的准线l₂：x=-1，分别过点A、B作AA₁⊥l2于A₁，BB₁⊥l1于B₁，
由椭圆的第二定义可得|BN|=e|BB₁|=2-

1

2

x_B，由抛物线定义可得|AN|=|AA₁|=x_A+1，
∴△NAB的周长=|AN|+|AB|+|BN|=x_A+1+（x_B-x_A）+2-

1

2

x_B=3+

1

2

x_B，
又由

y2=4x x2 4 + y2 3 =1

，可得两曲线交点的横坐标为x=

2

3

，
∵x_B∈（

2

3

，2），∴3+

1

2

x_B∈（

10

3

，4），
即△NAB的周长l的取值范围为（

10

3

，4），
故选B．

点评：本题主要考查了椭圆和抛物线性质．要利用好椭圆的第一和第二定义及抛物线的定义．