Question

如图，点P是以AB为直径的圆O上动点，P'是点P关于AB的对称点，AB=2a（a＞0）．
（Ⅰ）当点P是弧

AB

上靠近B的三等分点时，求

AP

•

AB

的值；
（Ⅱ）求

AP

•

OP′

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知先求出点P的坐标，再利用数量积即可求出；
（Ⅱ）设∠POB=θ，θ∈[0，2π），写出点p与P^′的坐标，求出

AP

•

AP′

的表达式，再利用二次函数和余弦函数的单调性即可求出其最值．

解答：解：（Ⅰ）以直径AB所在直线为x轴，以O为坐标原点建立平面直角坐标系．
∵P是弧AB靠近点B的三等分点，
连接OP，则∠BOP=

π

3

，
点P坐标为(

1

2

a，

3

2

a)．
又点A坐标是（-a，0），点B坐标是（a，0），
∴

AP

=(

3

2

a，

3

2

a)，

AB

=(2a，0)，
∴

AP

•

AB

=3a2．
（Ⅱ）设∠POB=θ，θ∈[0，2π），则P（acosθ，asinθ），
P'（acosθ，-asinθ），
∴

AP

=(acosθ+a，asinθ)，

OP′

=(acosθ，-asinθ)．
∴

AP

•

OP′

=a2cos2θ+a2cosθ-a2sin2θ=a²（2cos²θ+cosθ-1）
=2a2(cos2θ+

1

2

cosθ+

1

16

)-

9

8

a2=2a2(cosθ+

1

4

)2-

9

8

a2．
当cosθ=-

1

4

时，

AP

•

OP′

有最小值-

9

8

a2，
当cosθ=1时，

AP

•

OP′

有最大值2a²．

点评：熟练掌握圆的对称性、向量的数量积、三角函数和二次函数的单调性是解题的关键．