题目内容
已知函数(k为常数,e=2.71828……是自然对数的底数),曲线在点处的切线与x轴平行。
(1)求k的值;
(2)求的单调区间;
(3)设,其中为的导函数,证明:对任意,。
(1);(2)单调递增区间为,单调递减区间为;(3)详见解析.
解析试题分析:(1)先求导函数,由导数的几何意义得,列方程求;(2)求的解集和定义域求交集,得单调递增区间;求的解集并和定义域求交集,得单调递减区间,该题,可观察当时,;时,.所以单调区间可求;(3)思路一:考虑的最大值,证明最大值小于即可,但是考虑到解析式的复杂性,可对不等式等价变形;思路二:原不等式等价于
,记,利用导数可求其最大值为,从图象可以判断的图象在直线的上方,也就是说恒成立,故,所以命题得证.
试题解析:(Ⅰ)由得由于曲线在处的切线与x轴平行,所以,因此
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,令当时,;当时,又,所以时,;时,. 因此的单调递增区间为(0,1),单调递减区间
(Ⅲ)证明因为,所以因此对任意等价于 由(Ⅱ)知
所以因此当时,单调递增;当时单调递增. 所以的最大值为 故 设因为,所以时,单调递增,
故时,即所以因此对任意
考点:1、导数的几何意义;2、导数 在单调性上的应用;3、利用导数求函数的最值.
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