题目内容
【题目】如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)
(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;
(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.
【答案】(1)记玻璃棒与交点为H,则
,
,没入水中的部分为
(cm).
(2),
,
记玻璃棒与交点为Q,则
,∴
,∴
,
,
∴,
没入水中的部分为(cm)
【解析】
解:(1)由正棱柱的定义,平面
,所以平面
平面
,
.
记玻璃棒的另一端落在上点
处.
因为,
所以,从而
,
记与水面的焦点为
,过
作P1Q1⊥AC, Q1为垂足,
则 P1Q1⊥平面 ABCD,故P1Q1=12,
从而 AP1= .
答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.
( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶,则结果为24cm)
(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.
由正棱台的定义,OO1⊥平面 EFGH, 所以平面E1EGG1⊥平面EFGH,O1O⊥EG.
同理,平面 E1EGG1⊥平面E1F1G1H1,O1O⊥E1G1.
记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.
过G作GK⊥E1G,K为垂足, 则GK =OO1=32.
因为EG = 14,E1G1= 62,
所以KG1= ,从而
.
设则
.
因为,所以
.
在中,由正弦定理可得
,解得
.
因为,所以
.
于是.
记EN与水面的交点为P2,过 P2作P2Q2⊥EG,Q2为垂足,则 P2Q2⊥平面 EFGH,故P2Q2=12,从而 EP2=.
答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.
(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶,则结果为20cm)
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)