题目内容

已知正项数列{an}满足:a1=1,且(n+1)an+12=nan2-an+1an,n∈N*
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{
1
an
}的前n项积为Tn,求证:当x>0时,对任意的正整数n都有Tn
xn
ex
分析:(I)先对(n+1)an+12-nan2+an+1an=0进行化简得到 an+1=
-1±
1+4n(n+1)
2(n+1)
an=
n
n+1
an
,再由累乘法可得到数列的通项公式是an
(II)根据(I)求出Tn,利用数学归纳法证明即可,证明过程中注意数学归纳法的步骤和导数的灵活应用.
解答:解:(I)∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0
an+1=
-1±
1+4n(n+1)
2(n+1)
an=
n
n+1
an
(另解-an不合题意舍去),
a2
a1
a3
a2
an
an-1
=
1
2

an
a1
=
1
n
an=
1
n
,n∈N+

(II)由(I)得:Tn=n!,
当x>0时,Tn
xn
ex
等价于xn<n!ex  ①
以下用数学归纳法证明:
①当n=1时,要证x<ex,令g(x)=ex-x,
则g′(x)=ex-1>0,
∴g(x)>g(0)=1>0,即x<ex 成立;
②假设当n=k时,①式成立,即xk<k!ex,那么当n=k+1时,
要证xk+1<(k+1)!ex也成立,
令h(x)=(k+1)!ex-xk+1,则h′(x)=(k+1)!ex-((k+1)xk
=(k+1)(k!ex-xk),
由归纳假设得:h′(x)>0,
∴h(x)>h(0)=(k+1)!>0,
即xk+1<(k+1)!ex也成立,
由①②即数学归纳法原理得原命题成立.
点评:本题主要考查数列递推关系式的应用和累乘法.求数列通项公式的一般方法--公式法、累加法、累乘法、构造法等要熟练掌握,属中档题.
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