题目内容

9.设x、y、z是三个不全为零的实数,求$\frac{xy+2yz}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$的最大值为$\frac{\sqrt{5}}{2}$.

分析 由于求的是最大值,可设x,y,z>0,由x2+my2≥2$\sqrt{m}$xy,(0<m<1,x=$\sqrt{m}$y取得等号),由(1-m)y2+z2≥2$\sqrt{1-m}$yz(z=$\sqrt{1-m}$y取得等号),当2$\sqrt{m}$=$\sqrt{1-m}$即m=$\frac{1}{5}$时,对分母运用基本不等式,化简整理,即可得到最大值为$\frac{\sqrt{5}}{2}$.

解答 解:由于求的是最大值,可设x,y,z>0,
由x2+my2≥2$\sqrt{m}$xy,(0<m<1,x=$\sqrt{m}$y取得等号),
由(1-m)y2+z2≥2$\sqrt{1-m}$yz(z=$\sqrt{1-m}$y取得等号),
当2$\sqrt{m}$=$\sqrt{1-m}$即m=$\frac{1}{5}$时,
$\frac{xy+2yz}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$=$\frac{xy+2yz}{({x}^{2}+\frac{1}{5}{y}^{2})+(\frac{4}{5}{y}^{2}+{z}^{2})}$≤$\frac{xy+2yz}{\frac{2\sqrt{5}}{5}xy+\frac{4\sqrt{5}}{5}yz}$
=$\frac{5}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$.
当且仅当2x=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$y=z时,取得最大值,且为$\frac{\sqrt{5}}{2}$.
故答案为:$\frac{\sqrt{5}}{2}$.

点评 本题考查基本不等式的运用:求最值,运用待定系数法求得m,是解题的关键,属于中档题.

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