题目内容

【题目】已知数列满足:,且成等差数列,其中.

1)求实数的值和数列的通项公式;

2)若数列满足等式:),求数列的前项和

3)在(2)的条件下,问:是否存在这样的正数,可以确保恰有5个自然数使得不等式成立?若存在,求的取值范围,若不存在,说明理由.

【答案】1;(2;(3)存在,.

【解析】

由题意和等差中项的性质列出关于的方程求出,再利用累加法求出数列的通项公式即可.

类比已知前项和求通项公式的方法,由等式,得到

,两式相减得到,利用求出的通项公式,,,即可求出.

结合条件对进行分类讨论,,利用分离参数法化简得,利用取特殊值和比商法判断出的单调性,进而判断出的单调性,根据条件即可求出正数的取值范围.

因为,,

所以,

因为成等差数列,

所以,即,

解得,,

所以,

以上式子相加可得,,

因为,

所以,.

因为,

所以

可得,,

因为 ,所以即

,,

因为数列的前项和为,

所以.

假设存在这样的正数.

因为,所以使不等式成立,

即使不等式成立即可.

因为,所以当,上式显然成立,

,不等式可化为,

,;,;

,;当,;

,则

,,,

所以当,随着的增大而增大,随着的增大而减小,

因为使不等式成立的自然数恰有5个,

所以正数的取值范围为.

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