题目内容
【题目】已知数列满足:,,且、、成等差数列,其中.
(1)求实数的值和数列的通项公式;
(2)若数列满足等式:(),求数列的前项和;
(3)在(2)的条件下,问:是否存在这样的正数,可以确保恰有5个自然数使得不等式成立?若存在,求的取值范围,若不存在,说明理由.
【答案】(1),;(2);(3)存在,.
【解析】
由题意和等差中项的性质列出关于的方程求出,再利用累加法求出数列的通项公式即可.
类比已知前项和求通项公式的方法,由等式,得到
,两式相减得到,利用求出的通项公式,当时,,即可求出.
结合条件对进行分类讨论,当时,利用分离参数法化简得,利用取特殊值和比商法判断出的单调性,进而判断出的单调性,根据条件即可求出正数的取值范围.
因为,,
所以,,
因为、、成等差数列,
所以,即,
解得,,
所以,
以上式子相加可得,,
因为,
所以,即.
因为,
所以,
可得,,
因为 ,所以即,
当时,,
因为数列的前项和为,
所以.
假设存在这样的正数.
因为,所以使不等式成立,
即使不等式成立即可.
因为,所以当时,上式显然成立,
当时,不等式可化为,
当时,;当时,;
当时,;当时,;
令,则,
当时,,则,
所以当时,随着的增大而增大,则随着的增大而减小,
因为使不等式成立的自然数恰有5个,
所以正数的取值范围为.
【题目】为更好地落实农民工工资保证金制度,南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市名农民工(其中技术工、非技术工各名)的月工资,得到这名农民工的月工资均在(百元)内,且月工资收入在(百元)内的人数为,并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图:
(1)求的值;
(2)已知这名农民工中月工资高于平均数的技术工有名,非技术工有名.
①完成如下所示列联表
技术工 | 非技术工 | 总计 | |
月工资不高于平均数 | |||
月工资高于平均数 | |||
总计 |
②则能否在犯错误的概率不超过的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系?
参考公式及数据:,其中.