Question

2．直角坐标系下，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数）．
（1）在横坐标系下，曲线C与射线θ=$\frac{π}{4}$和射线θ=-$\frac{π}{4}$分别交于A，B两点，求△AOB的面积；
（2）在直角坐标系下，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=6\sqrt{2-2t}}\\{y=t-\sqrt{2}}\end{array}\right.$（t为参数），求曲线C与直线l的交点坐标．

Answer 1

分析 （1）首先把直角坐标方程转化为极坐标方程，进一步利用直线的方程求出|OA|和|OB|的长，最后求出三角形的面积．
（2）利用直线和曲线的关系建立方程组，直接利用参数求出交点的坐标．

解答 解：（1）曲线C在直角坐标系下的普通方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
转化为极坐标方程为：$\frac{{ρ}^{2}{cos}^{2}θ}{16}+\frac{{ρ}^{2}{sin}^{2}θ}{4}=1$，
分别代入$θ=\frac{π}{4}$和$θ=-\frac{π}{4}$，
得：$|OA{|}^{2}=|OB{|}^{2}=\frac{32}{5}$，
因为$∠AOB=\frac{π}{2}$，故△AOB的面积：$S=\frac{1}{2}\left|OA\right|\left|OB\right|=\frac{16}{5}$．
（2）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得：$（t-2\sqrt{2}）^{2}=0$，

即t=2$\sqrt{2}$，代入l的参数方程，得：$x=2\sqrt{2}$，y=2，

所以曲线C与直线l的交点坐标为$（2\sqrt{2}，2）$．

点评 本题考查的知识要点：直角坐标方程与极坐标方程的互化，三角形面积的应用，利用代入法求直线与曲线的关系，求交点的坐标．主要考查学生的应用能力．