Question

7．（1）解不等式：|2x-1|-|x|＜1；
（2）设a²-2ab+5b²=4对?a，b∈R成立，求a+b的最大值及相应的a，b．

Answer 1

分析 （1）对x分情况讨论，去绝对值；然后分别解之；
（2）设a+b=x，则原方程化为关于a的一元二次方程的形式，利用判别式法，得到x的范围．

解答 解：根据题意，对x分3种情况讨论：
①当x＜0时，原不等式可化为-2x+1＜-x+1，
解得x＞0，又x＜0，则x不存在，
此时，不等式的解集为∅．
②当0≤x＜$\frac{1}{2}$时，原不等式可化为-2x+1＜x+1，
解得x＞0，又0≤x＜$\frac{1}{2}$，
此时其解集为{x|0＜x＜$\frac{1}{2}$}．
③当x≥$\frac{1}{2}$ 时，原不等式可化为2x-1＜x+1，解得x＜2，
又由x≥$\frac{1}{2}$，
此时其解集为{x|$\frac{1}{2}$≤x＜2}，
∅∪{x|0＜x＜$\frac{1}{2}$ }∪{x|$\frac{1}{2}$≤x＜2}={x|0＜x＜2}；
综上，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}．
（2）设a+b=x，则原方程化为8a²-12ax+5x²-4=0，此方程有实根，则△=144x²-4×8（5x²-4）≥0，解得$-2\sqrt{2}≤x≤2\sqrt{2}$，
所以a+b的最大值为2$\sqrt{2}$，此时a=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，涉及分类讨论的数学思想，关键是用分段讨论法去掉绝对值；（2）利用换元将方程化为与之等价的方程，利用判别式法求最值；同时考查了学生分析问题和解决问题的能力，以及运算求解的能力．