Question

给出下列函数：①y=x²+1；②y=-|x|；③y=（

1

2

）^x；④y=log₂x；
其中同时满足下列两个条件的函数的个数是（　　）
条件一：定义在R上的偶函数；
条件二：对任意x₁，x₂∈（0，+∞），（x₁≠x₂），有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0．

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：条件二说明函数递减，对四个函数逐一检验是否满足两个条件即可．

解答：解：条件二：对任意x₁，x₂∈（0，+∞），（x₁≠x₂），有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，即说明f（x）为（0，+∞）上的减函数．
①中，∵（-x）²+1=x²+1，∴y=x²+1为偶函数，故满足条件一，
但x＞0时，y=x²+1单调递增，故不满足条件二；
②中，∵-|-x|=-|x|，∴y=-|x|为偶函数，满足条件一；
又当x＞0时，y=-|x|=-x单调递减，故满足条件二；
故y=-|x|同时满足条件一、二；
③中，指数函数的图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称，
∴y=(

1

2

)x不具备奇偶性，故不满足条件一；
④中，对数函数的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，
∴y=log₂x不具备奇偶性，故不满足条件一；
综上，同时满足两个条件的函数只有②，
故选：B．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属基础题，定义是解决该类题目的常用方法．