Question

对于数列{a_n}，定义{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an，n∈N*；对k≥2，k∈N^*，定义{△^ka_n}为{a_n}的k阶差分数列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an．
（1）若数列{a_n}的通项公式为an=n2-6n，分别求出其一阶差分数列{△a_n}、二阶差分数列{△²a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}首项a₁=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n，求出数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用一阶差分数列与k阶差分数列的概念即可求得通项公式为a_n=n²-6n的数列{a_n}的一阶差分数列{△a_n}、二阶差分数列{△²a_n}的通项公式；
（2）由△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，可求得

an+1

2n+1

=

an

2n

+

1

2

，继而可求得a_n=n•2^n-1，利用错位相减法即可求得其前n项和S_n．

解答：解：（1）△a_n=a_n+1-a_n=[（n+1）²-6（n+1）]-（n²-6n）=2n-5…3分
△²a_n=△a_n+1-△a_n=[2（n+1）-5]-（2n-5）=2…2分
（2）由△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，
则△a_n+1-△a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ
即△a_n-a_n=2ⁿ，
∴a_n+1-a_n=a_n+2ⁿ，即a_n+1=2a_n+2ⁿ…2分
∴

an+1

2n+1

=

an

2n

+

1

2

，
则{

an

2n

}为公差是

1

2

的等差数列…2分
又

a1

2

=

1

2

，
∴

an

2n

=

1

2

+

1

2

（n-1）=

1

2

n（n∈N^*），
∴a_n=n•2^n-1…2分
∴S_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+4•2³+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1…①
2S_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ…②
①-②得：
-S_n=1+2¹+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=

1-2n

1-2

-n•2ⁿ=2ⁿ-1-n•2ⁿ，
∴S_n=（n-1）2ⁿ+1（n∈N^*）…2分

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的性质与判定，考查错位相减法求和，考查逻辑推理与抽象思维能力，属于难题．