题目内容
【题目】已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，右焦点到右顶点的距离为1.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：
，使得
成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）存在；实数m的取值范围是
【解析】
（1）设椭圆的顶点为P，则
，又由
，由
结合椭圆的定义可得
，结合
可求椭圆的方程；
（2）存在直线l，使得
成立.设直线l的方程为
，由
得
.由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围.
（1）设椭圆的顶点为P，
由两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，
可得，
又
右焦点到右顶点的距离为1.
，
，
，
，
椭圆的方程为：；
（2）存在直线l，使得成立.理由如下：
设直线l的方程为，
由得.
，化简得
.
设
，
，则
，
.
若成立，
即
，等价于
.
所以
.
，
，
，
化简得
.即
，
代入中，
，
解得
.
又由
，得
，
从而，
解得
或
.
所以实数m的取值范围是
.
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