题目内容
(本题满分12分)已知过点且斜率为1的直线
与直线
交于点.
(1)求以、
为焦点且过点
的椭圆
的方程;
(2)设点是椭圆
上除长轴两端点外的任意一点,试问在
轴上是否存在两定点
、
使
得直线、
的斜率之积为定值?若存在,请求出定值,并求出所有满足条件的定点
、
的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)
根据椭圆定义,得
所以.又
,所以
.
所以椭圆的方程为
. …………………(4分)
(2)假设存在两定点为,使得对于椭圆上任意一点
(除长轴两端点)都有(
为定值),即
·
,
将代入并整理得
…(*).
由题意,(*)式对任意恒成立,所以
,
解之得 或
.
所以有且只有两定点,使得
为定值
………(12分)

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