题目内容
已知△ABC的三边a，b，c成等比数列，且a+c=
，
+
=
．
（Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
| 23 |
| 1 |
| tanA |
| 1 |
| tanC |
| 5 |
| 3 |
（Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
分析：（Ⅰ）将已知第二个等式利用同角三角函数间的基本关系切化弦后，通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用两角和与差的正弦函数公式变形，再由a，b，c成等比数列，得b2=ac，利用正弦定理得到一个关系式，代入化简得到的式子中，求出sinB的值，再利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosB的值；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，根据完全平方公式变形后，将a+c的值代入求出ac的值，由ac及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，根据完全平方公式变形后，将a+c的值代入求出ac的值，由ac及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
解答：解：（Ⅰ）由
+
=
+
=
=
，
∵a，b，c成等比数列，
∴b2=ac，
∴由正弦定理得：sin2B=sinAsinC，
在△ABC中有sin（A+C）=sinB，
∴
=
=
=
，即sinB=
，
由b2=ac知，b不是最大边，
则cosB=
=
；
（Ⅱ）由余弦定理b2=a2+c2-2accosB及b2=ac得：ac=a2+c2-2ac•
=（a+c）2-
ac，
解得：ac=5，
则S△ABC=
acsinB=
．
| 1 |
| tanA |
| 1 |
| tanC |
| cosA |
| sinA |
| cosC |
| sinC |
| sin(A+C) |
| sinAsinC |
| 5 |
| 3 |
∵a，b，c成等比数列，
∴b2=ac，
∴由正弦定理得：sin2B=sinAsinC，
在△ABC中有sin（A+C）=sinB，
∴
| sin(A+C) |
| sinAsinC |
| sinB |
| sin2B |
| 1 |
| sinB |
| 5 |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
由b2=ac知，b不是最大边，
则cosB=
| 1-sin2B |
| 4 |
| 5 |
（Ⅱ）由余弦定理b2=a2+c2-2accosB及b2=ac得：ac=a2+c2-2ac•
| 4 |
| 5 |
| 18 |
| 5 |
解得：ac=5，
则S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，等比数列的性质，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知△ABC的三边a、b、c的长均为正整数，且a≤b≤c，若b为常数，则满足要求的△ABC的个数是（ ）
| A、b2 | ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|