题目内容
已知△ABC的三边a、b、c成等比数列，且cotA+cotC=
，a+c=3．
（1）求cosB；（2）求△ABC的面积．
4
| ||
| 7 |
（1）求cosB；（2）求△ABC的面积．
分析：（1）由cotA+cotC=
⇒
=
，由sinAsinC=sin2B，sin（A+C）=sinB，知
=
，sinB=
，由此能求出cosB．
（2）由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB，得ac=a2+c2-2ac•
=(a+c)2-
ac，由此能求出△ABC的面积．
4
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| 7 |
| sin(A+C) |
| sinAsinC |
4
| ||
| 7 |
| sinB |
| sin2B |
4
| ||
| 7 |
| ||
| 4 |
（2）由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB，得ac=a2+c2-2ac•
| 3 |
| 4 |
| 7 |
| 2 |
解答：解：（1）由cotA+cotC=
⇒
=
，
∵sinAsinC=sin2B，
sin（A+C）=sinB，
∴
=
sinB=
，…（5分）
由a、b、c成等比数列，
知b2=ac，
且b不是最大边，
∴cosB=
=
=
，…（6分）
（2）由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB，
得ac=a2+c2-2ac•
=(a+c)2-
ac，
得ac=2，…（11分）
∴S△ABC=
acsinB=
．…（12分）
4
| ||
| 7 |
| sin(A+C) |
| sinAsinC |
4
| ||
| 7 |
∵sinAsinC=sin2B，
sin（A+C）=sinB，
∴
| sinB |
| sin2B |
4
| ||
| 7 |
| ||
| 4 |
由a、b、c成等比数列，
知b2=ac，
且b不是最大边，
∴cosB=
| 1-sin2B |
1-(
|
| 3 |
| 4 |
（2）由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB，
得ac=a2+c2-2ac•
| 3 |
| 4 |
| 7 |
| 2 |
得ac=2，…（11分）
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
点评：本题考查三角形的解法，解题时要认真审题，仔细解答，注意正弦定理和余弦定理的灵活运用．
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B、
| ||||
C、
| ||||
D、
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