Question

如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2．
（Ⅰ）求CB、CD；
（Ⅱ）求cos∠CBD的值；
（III）求AE．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由△ABC是等腰直角三角形，且△ACD是等边三角形，根据等腰及等边三角形的性质得到CB=CD，在等腰直角三角形ABC中，设AC=BC=x，由斜边AB=2，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而确定出CB与CD的长；
（Ⅱ）由三角形ABC为等腰直角三角形可得∠ACB的度数，再由三角形ABC为等边三角形，得到∠ACD的度数，进而由∠ACB+∠ACD得到∠BCD的度数，又BC=DC，得到三角形BCD为等腰三角形，由顶角的度数求出底角∠CBD的度数，由15°=45°-30°，根据两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值求出cos15°的值，即可求出cos∠CBD的值；
（III）由三角形ABC为等腰直角三角形，得到∠CBA为45°，再根据∠CBE为30°，利用∠EBA=∠CBA-∠CBE求出∠EAB的度数，同时根据∠AEB为三角形BCE的外角，利用外角性质得到∠AEB的度数，再由AB的长，利用正弦定理即可求出AE的长．

解答：解：（Ⅰ）依题意得：AC=AD=CD=AC=BC，
设AC=BC=x，又AB=2，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：x²+x²=2²，
解得：x=

2

，
则CB=CA=CD=

2

；…（2分）
（Ⅱ）∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°+60°=150°，
又BC=DC，
∴∠CBD=（180°-150°）÷2=15°，…（4分）
又cos15°=cos（45°-30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°=

6 + 2

4

，
则cos∠CBD=cos15°=

6 + 2

4

；  …（8分）
（III）∵△ABC为等腰三角形，
∴∠CBA=45°，又∠CBE=15°，
∴∠EBA=∠CBA-∠CBE=45°-15°=30°，…（9分）
在△ABE中，AB=2，∠AEB=∠ACB+∠CBE=90°+15°=105°，
由正弦定理得：

AE

sin30°

=

2

sin105°

，…（11分）
则AE=

2sin30°

cos15°

=

2× 1 2

6 + 2 4

=

6

-

2

．  …（13分）

点评：此题考查了等腰直角三角形及等边三角形的性质，正弦定理，两角和与差的余弦函数公式，三角形的外角性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．