Question

如图，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，E、F分别为AB、PD的中点，过AE、AF的平面交PC于点H，二面角P-CD-B为45°，PA=a．
（Ⅰ）求证：AF∥EH；
（Ⅱ）求证：平面PCE⊥平面PCD； 
（Ⅲ）求多面体ECDAHF的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵EA∥CD，CD?平面PCD，EA?平面PCD，
∴EA∥平面PCD．
又平面EAFH∩平面PCD=HF，且EA?平面EAFH，
∴EA∥HF．
∴HF∥CD．
∵E、F分别是AB、PD的中点，
∴EA∥HF∥CD，EA=HF=

1

2

CD．
∴四边形EAFH是平行四边形．
∴AF∥EH．…（5分）
（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD是PD在平面ABCD内的射影，
∴PD⊥CD．
∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°．
∴△PAD是等腰Rt△，又F是斜边PD上的中点，
∴AF⊥PD．
∵AF在平面ABCD内的射影AD⊥CD，
∴AF⊥CD，而PD∩CD=D．
∴AF⊥平面PCD．
∵EH∥AF，∴EH⊥平面PCD．
又EH?平面PCE，∴平面PCE上平面PCD．…（9分）
（Ⅲ）由上面的证明可知，PF⊥平面EAFH，四边形EAFH是矩形，
∵PA=AD=a，
∴AF=PF=

2

2

a，HF=

a

2

．
∴VP-EAFH=

1

3

AF•HF•PF=

1

3

•

2

2

a•

a

2

•

2

2

a=

a3

12

．

VP-AECD= 1 3 • 1 2 (EA+CD)•AD•PA

=

1

6

(

a

2

+a)•a•a=

a3

4

∴V_{多面体ECDAHF}=V_P-AECD-V_P-EAFH=

a3

4

-

a3

12

=

a3

6

．…（13分）