题目内容

已知函数f(x)=
x
1-|x|
,分别给出下面几个结论,其中正确结论的序号有
①②③④
①②③④

①f(x)是奇函数;
②函数f(x)的值域为R;
③函数g(x)=f(x)+x有三个零点;
④当x1,x2∈(-∞,-1),且x1≠x2,则 
f(x1)+f(x2)
2
>f(
x1+x2
2
)
恒成立.
分析:①利用奇函数的定义进行验证f(-x)=
-x
1-|-x|
=-f(x);②当x>0时,f(x)=
x
1-x
=-1+
1
1-x
,可求其值域,由①知当x<0时,可求f(x)值域,x=0时,f(x)=0,从而即可判断;③由图象知f(x)的图象与y=-x有三个交点,故可判断;④根据 
f(x1)+f(x2)
2
>f(
x1+x2
2
)
体现在图象是表示图象是下凹的,结合函数的图象进行判断即可.
解答:解:①f(-x)=
-x
1-|-x|
=-f(x)∴正确;
②当x>0时,f(x)=
x
1-x
=-1+
1
1-x
∈(0,+∞)∪(-∞,-1)
由①知当x<0时,f(x)=
x
x+1
∈(1,+∞)∪(-∞,0)
x=0时,f(x)=0
∴函数 f (x) 的值域为R,故正确;
③由图象知f(x)的图象与y=-x有三个交点,原点及第二、四象限各一个,
∴函数g(x)=f(x)+x有三个零点,故正确.
f(x1)+f(x2)
2
>f(
x1+x2
2
)
体现在图象是表示图象是下凹的,结合函数在(-∞,-1)上的图象,其是下凹的,故④正确.
故答案为:①②③④.
点评:本题综合考查函数的图象、性质及函数的零点,注意数形结合思想和函数与方程思想的应用.属中档题
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