Question

13．已知m为实数，求函数y=x²-mx+1，x∈[-1，2]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 先求出函数的对称轴，通过讨论m的范围，确定对称轴的位置，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值．

解答 解：∵函数y=x²-mx+1=${（x-\frac{m}{2}）}^{2}$+1-$\frac{{m}^{2}}{4}$，
∴对称轴x=$\frac{m}{2}$，
①$\frac{m}{2}$≤-1即m≤-2时：函数在[-1，2]递增，
∴x=2时，y最大，y_最大值=5-2m，
x=-1时，y最小，y_最小值=2+m；
②-1＜$\frac{m}{2}$≤$\frac{1}{2}$即-2＜m≤1时，
函数在[-1，$\frac{m}{2}$）递减，在（$\frac{m}{2}$，2]递增，
∴x=$\frac{m}{2}$时，y最小，y_最小值=1-$\frac{{m}^{2}}{4}$，
x=2时，y最大，y_最大值=5-2m；
③$\frac{1}{2}$＜$\frac{m}{2}$≤2即1＜m≤4时，
函数在[-1，$\frac{m}{2}$）递减，在（$\frac{m}{2}$，2]递增，
∴x=$\frac{m}{2}$时，y最小，y_最小值=1-$\frac{{m}^{2}}{4}$，
x=-1时，y最大，y_最大值=2+m；
④$\frac{m}{2}$≥2即m≥4时，
函数在[-1，2]递减，
∴x=2时，y最小，y_最小值=5-2m，
x=2时，y最大，y_最大值=2+m．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性和最值问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．