Question

设a＞0，函数f(x)=x-a

x2+1

+a．
（I）若f（x）在区间（0，1]上是增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）求f（x）在区间（0，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）要使f（x）在区间（0，1]上是增函数，只要f′(x)=1-

ax

x2+1

≥0在(0，1]上恒成立，将a参数分离即可求出a的范围；
（2）欲求f（x）在区间（0，1]上的最大值，即研究函数f（x）在区间（0，1]上单调性，对a进行讨论，求出函数的最值．

解答：解：（I）对函数f(x)求导数，得f′(x)=1-

ax

x2+1

．（2分）
要使f（x）在区间（0，1]上是增函数，只要f′(x)=1-

ax

x2+1

≥0在(0，1]上恒成立，
即a≤

x2+1

x

=

1+ 1 x2

在(0，1]上恒成立（4分）
因为

1+ 1 x2

在(0，1]上单调递减，所以

1+ 1 x2

在(0，1]上的最小值是

2

，
注意到a＞0，所以a的取值范围是(0，

2

]．（6分）
（II）解：①当0＜a≤

2

时，由（I）知，f（x）在区间（0，1]上是增函数，
此时f（x）在区间（0，1]上的最大值是f(1)=1+(1-

2

)a．（8分）
②当a＞

2

时，令f′(x)=1-

ax

x2+1

=0，
解得x=

1

a2-1

∈(0，1)．（10分）
因为0＜x＜

1

a2-1

时，f′(x)＞0；

1

a2-1

＜x＜1时，f′(x)＜0，
所以f(x)在(0，

1

a2-1

)上单调递增，在(

1

a2-1

，1)上单调递减，
此时f（x）在区间（0，1]上的最大值是f(

1

a2-1

)=a-

a2-1

．（13分）
综上，当0＜a≤

2

时，f（x）在区间（0，1]上的最大值是1+(1-

2

)a；
当a＞

2

时，f（x）在区间（0，1]上的最大值是a-

a2-1

．（14分）

点评：本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，最值等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力，属于中档题．