题目内容

已知函数 $数学公式$ ，
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）判断并证明f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）在（0，1）内，求使关系式 $数学公式$ 成立的实数x的取值范围．

解：（Ⅰ）函数f（x）有意义，需 $\text{[math]}$
解得-1＜x＜1且x≠0，
∴函数定义域为x|-1＜x＜0或0＜x＜1；
（Ⅱ）函数f（x）为奇函数，
∵f（-x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
又由（1）已知f（x）的定义域关于原点对称，
∴f（x）为奇函数；
（Ⅲ）设0＜x₁＜x₂＜1，∵ $\text{[math]}$ ，
又x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，∴ $\text{[math]}$ ①
又 $\text{[math]}$ ，∵1-x₁＞0，1-x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴ $\text{[math]}$ ；
∴ $\text{[math]}$ ．②
由①②，得 $\text{[math]}$ ，
∴f（x）在（0，1）内为减函数；
又 $\text{[math]}$ ，∴使 $\text{[math]}$ 成立x的范围是 $\text{[math]}$ ．
分析：（I）根据分式函数分母不能为零和对数函数真数大于零求解；
（Ⅱ）由（1）知定义域关于原点对称，再分析f（-x）与f（x）的关系；
（Ⅲ）先证明f（x）在（0，1）内单调递减，即在给定的区间上任取两个变量，且界定其大小，再作差变形，再与零进行比较，关键是变形到位用上条件．最后利用单调性将原不等式转化为整式不等式求解即可．
点评：本题主要考查函数的基本性质，涉及到定义域的求法，要注意分式函数，根式函数和基本函数的定义域；还考查了奇偶性的判断，要注意定义域．