题目内容

已知{an}是由非负整数组成的数列,满足a1=0,a2=3,an+1·an=(an-1+2)(an-2+2),n=3,4,5,

…,用反证法证明a3=2.

证明:由题设得a3a4=10,且a3、a4均为非负整数,∴a3的可能的值为1,2,5,10.

若a3=1,则a4=10, ,与题设矛盾.

若a3=5,则a4=2,,与题设矛盾.

若a3=10,则a4=1,a5=60, ,与题设矛盾.∴a3=2.

练习册系列答案
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已知{an}是由非负整数组成的数列，满足a1=0，a2=3，an+1an=（an-1+2）（an-2+2），n=3，4，5，…，
（1）求a3；
（2）证明an=an-2+2，n=3，4，5，…；
（3）求{an}的通项公式及其前n项和Sn．
已知{an}是由非负整数组成的数列，满足a1=0，a2=3，an=an-2+2，(n∈N*，n≥3)，则数列{an}的通项公式为
an=n+(-1)n
an=n+(-1)n
．
（2013•北京）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an+1，an+2…的最小值记为Bn，dn=An-Bn．
（Ⅰ）若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N*，an+4=an），写出d1，d2，d3，d4的值；
（Ⅱ）设d是非负整数，证明：dn=-d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；
（Ⅲ）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．

已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项，…的最小值记为Bn，dn=An－Bn.

(I)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，)，写出d1，d2，d3，d4的值；

(II)设d为非负整数，证明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列；

(III)证明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3…)，则{an}的项只能是1或2，且有无穷多项为1.

 

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