题目内容
已知函数f(x)=| mx2+2 |
| 3x+n |
| 5 |
| 3 |
（Ⅰ）求实数m和n的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）在（-∞，-1]上的单调性，并加以证明．
分析：（I）由函数是奇函数的，∴f（-x）=-f（x）恒成立，再用待定系数法求得m，n或找到m，n的关系，然全结合f(2)=
求解．
（II）用单调性定义证明，先在给定区间上任取两个变量，且界其大小，再作差变形看符号．当自变量变化与函数值变化一致时，为增函数，当自变量变化与函数值变化相反时，为减函数．
| 5 |
| 3 |
（II）用单调性定义证明，先在给定区间上任取两个变量，且界其大小，再作差变形看符号．当自变量变化与函数值变化一致时，为增函数，当自变量变化与函数值变化相反时，为减函数．
解答：解：（Ⅰ）∵函数f(x)=
是奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∴
=-
=
∴n=0
∵f(2)=
．
∴
=
∴m=2
（II）函数f（x）在（-∞，-1]上是增函数
证明：任取x1 ＜x2＜-1，f(x1) -f(x2) =
(x1+
)-
(x2+
)=
∵x1＜x2＜-1，∴x1-x2＜0，x1x2-1＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0
∴f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）在（-∞，-1]上是增函数
| mx2+2 |
| 3x+n |
∴f（-x）=-f（x）
∴
| mx2+2 |
| -3x+n |
| mx2+2 |
| 3x+n |
| mx2+2 |
| -3x-n |
∴n=0
∵f(2)=
| 5 |
| 3 |
∴
| 4m+2 |
| 6 |
| 5 |
| 3 |
∴m=2
（II）函数f（x）在（-∞，-1]上是增函数
证明：任取x1 ＜x2＜-1，f(x1) -f(x2) =
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| x1 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| x2 |
| 2 |
| 3 |
| (x1-x2) (x1x2-1) |
| x1x2 |
∴f（x1）-f（x2）＜0
∴f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）在（-∞，-1]上是增函数
点评：本题主要考查函数的奇偶性解题，一般情况下，已知奇偶性时，用待定系数法求解问题；同时还考查了用单调性定义证明函数的单调性，要注意变形要到位．
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