Question

对于直线L：y=kx+1是否存在这样的实数，使得L与双曲线C：3x²-y²=1的交点A，B关于直线y=ax（a为常数）对称？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：利用两点关于直线对称满足两点的中点在直线上；两点连线与对称轴垂直列出方程组，将韦达定理代入得到a，k关系．判断出是否存在．

解答：证明：（反证法）假设存在实数k，使得A、B关于直线y=ax对称，（1分）
设A（ x₁，y₁），B（ x₂，y₂），（2分）
则

ka=-1…(1) y1+y2=k(x1+x2)+2…(2) y1+y2 2 =a x1+x2 2 …(3)

，（6分）
由

y=kx+1 y2=3x2-1

得（3-k²）x²-2kx-2=0，（4）（8分）
由（2）（3）有a（x₁+x₂）=k（x₁+x₂）+2，（5）（9分）
由（4）知x₁+x₂=

2k

3-k2

，（10分）
代入（5）整理得ak=3，与（1）矛盾，（12分）
故不存在实数k，使得A、B关于直线y=ax对称，（14分）

点评：本题考查解决直线与圆锥曲线的位置关系常将它们的方程联立，处理两点关于直线对称的问题常借用两点的中点在对称轴上；两点连线与对称轴垂直．