题目内容
已知,函数
.
(1)求的单调区间和值域;
(2)设,若
,总
,使得
成立,求
的取值范围;
(3)对于任意的正整数,证明:
.
【答案】
(1)单调减区间
,
单调增区间
,
(2)
;(3)略
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。
解 (1)令,解得
(舍去),
|
0 |
( |
|
( |
1 |
|
|
__ |
0 |
+ |
|
|
|
↘ |
|
↗ |
|
单调减区间
,
单调增区间
,
;…… 4分
(2)∵,
∴当时
,…………………6分
∴为
上的减函数,从而当
时有
,…8分
由题意知:,
即故
;………………… 10分
(3)构造函数:,
则,………………… 11分
当时,
,∴函数
在
上单调增,………………… 12分
∴
时,恒有
,……13分
即 恒成立,…………………14分
故对任意正整数,取
有
.
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练习册系列答案
相关题目
已知以下函数:(1)f(x)=3lnx;(2)f(x)=3ecosx;(3)f(x)=3ex;(4)f(x)=3cosx.
其中对于f(x)定义域内的任意一个自变量x1,都存在唯一一个自变量x2使
=3成立的函数是( )
其中对于f(x)定义域内的任意一个自变量x1,都存在唯一一个自变量x2使
f(x1)f(x2) |
A、(1)(2)(4) |
B、(2)(3) |
C、(3) |
D、(4) |
已知分段函数f(x)=
,则
f(x-2)dx等于( )
|
∫ | 3 1 |
A、
| ||||
B、2-e | ||||
C、3+
| ||||
D、2-
|
已知符号函数sgn x=
则方程x+1=(2x-1)sgnx的所有解之和是( )
|
A、0 | ||||
B、2 | ||||
C、-
| ||||
D、
|