题目内容
设n为正整数，规定：fn(x)=
| ||
| n个f |
|
（1）解不等式：f（x）≤x；
（2）设集合A={0，1，2}，对任意x∈A，证明：f3（x）=x；
（3）求f2008(
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分析：（1）因为是分段函数，所以先根据定义域选择解析式来构造不等式，
当0≤x≤1时，由2（1-x）≤x求解；
当1＜x≤2时，由x-1≤x求解，取后两个结果取并集．
（2）先求得f（0），f（1），f（2），
再分别求得f（f（0）），f（f（f（0）））；f（f（1）），f（f（f（1）））；
f（f（2））．再观察与自变量是否相等即可．
（3）看问题有2008重求值，一定用到周期性，所以先求出f1(
)=2(1-
)=
，f2(
)=f(f(
))=f(
)=
，f3(
)=f(f2(
))=f(
)=
-1=
，f4(
)=f(f3(
))=f(
)=2(1-
)=
，观察是以4为周期，有f4k+r(
)=fr(
)（k，r∈N）求解．．
当0≤x≤1时，由2（1-x）≤x求解；
当1＜x≤2时，由x-1≤x求解，取后两个结果取并集．
（2）先求得f（0），f（1），f（2），
再分别求得f（f（0）），f（f（f（0）））；f（f（1）），f（f（f（1）））；
f（f（2））．再观察与自变量是否相等即可．
（3）看问题有2008重求值，一定用到周期性，所以先求出f1(
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解答：解：（1）①当0≤x≤1时，由2（1-x）≤x得，x≥
．
∴
≤x≤1．
②当1＜x≤2时，因x-1≤x恒成立．
∴1＜x≤2．
由①，②得，f（x）≤x的解集为{x|
≤x≤2}．
（2）∵f（0）=2，f（1）=0，f（2）=1，
∴当x=0时，f3（0）=f（f（f（0）））=f（-f（2））=f（1）=0；
当x=1时，f3（1）=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1；
当x=2时，f3（2）=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2．
即对任意x∈A，恒有f3（x）=x．
（3）f1(
)=2(1-
)=
，
f2(
)=f(f(
))=f(
)=
，
f3(
)=f(f2(
))=f(
)=
-1=
，
f4(
)=f(f3(
))=f(
)=2(1-
)=
，
一般地，f4k+r(
)=fr(
)（k，r∈N）．
∴f2008(
)=f0(
)=
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∴
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②当1＜x≤2时，因x-1≤x恒成立．
∴1＜x≤2．
由①，②得，f（x）≤x的解集为{x|
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| 3 |
（2）∵f（0）=2，f（1）=0，f（2）=1，
∴当x=0时，f3（0）=f（f（f（0）））=f（-f（2））=f（1）=0；
当x=1时，f3（1）=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1；
当x=2时，f3（2）=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2．
即对任意x∈A，恒有f3（x）=x．
（3）f1(
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f2(
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f3(
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f4(
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一般地，f4k+r(
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∴f2008(
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点评：本题主要考查求解分段函数构造的不等式，要注意分类讨论，还考查了分段函数多重求值，要注意从内到外，根据自变量取值选择好解析式．
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，已知f(x)＝ .
，已知
．
；