Question

已知数列A：a₁，a₂，…，a_n（0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥3）具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n），a_j+a_i与a_j-a_i两数中至少有一个是该数列中的一项、现给出以下四个命题：①数列0，1，3具有性质P；②数列0，2，4，6具有性质P；③若数列A具有性质P，则a₁=0；④若数列a₁，a₂，a₃（0≤a₁＜a₂＜a₃）具有性质P，则a₁+a₃=2a₂，其中真命题有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

Answer 1

【答案】分析：根据数列A：a₁，a₂，…，a_n（0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥3）具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n），a_j+a_i与a_j-a_i两数中至少有一个是该数列中的一项，逐一验证，可知①错误，其余都正确．
解答：解：∵对任意i，j（1≤i≤j≤n），a_j+a_i与a_j-a_i两数中至少有一个是该数列中的项，
①数列0，1，3中，a₂+a₃=1+3=4和a₃-a₂=3-1=2都不是该数列中的数，故①不正确；
②数列0，2，4，6，a_j+a_i与a_j-a_i（1≤i≤j≤3）两数中都是该数列中的项，并且a₄-a₃=2是该数列中的项，故②正确；
③若数列A具有性质P，则a_n+a_n=2a_n与a_n-a_n=0两数中至少有一个是该数列中的一项，
∵0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥3，
而2a_n不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，
∴a₁=0；故③正确；
④∵数列a₁，a₂，a₃具有性质P，0≤a₁＜a₂＜a₃
∴a₁+a₃与a₃-a₁至少有一个是该数列中的一项，且a₁=0，
1°若a₁+a₃是该数列中的一项，则a₁+a₃=a₃，
∴a₁=0，易知a₂+a₃不是该数列的项
∴a₃-a₂=a₂，∴a₁+a₃=2a₂
2°若a₃-a₁是该数列中的一项，则a₃-a₁=a₁或a₂或a₃
①若a₃-a₁=a₃同1°，
②若a₃-a₁=a₂，则a₃=a₂，与a₂＜a₃矛盾，
③a₃-a₁=a₁，则a₃=2a₁
综上a₁+a₃=2a₂，
故选B．
点评：考查数列的综合应用，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属中档题．