题目内容
（2009•西安二模）已知O是△ABC内一点，向量
，
，
满足
+2
+
=
，则S△OAB：S△OBC：S△OAC等于（ ）
| OA |
| OB |
| OC |
| OA |
| OB |
| OC |
| 0 |
分析：设D为AC中点，连结OD，由向量加法法则和已知条件向量等式，可得
=-
=
（
+
），从而得到B、O、D三点共线，且O为BD的中点．由三角形中线的性质，可得S△OAB=S△OBC=S△OAD=S△OCD=
S△OAC，由此即可算出S△OAB：S△OBC：S△OAC的值，从而得到本题答案．
| OD |
| OB |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| OC |
| 1 |
| 2 |
解答：解：设D为AC中点，连结OD，则
∵OD是△OBC的中线，
∴向量
=
（
+
）
∵由已知得
+2
+
=
∴向量
=-
（
+
）
因此可得：
=-
，
即B、O、D三点共线，且O为BD的中点
∴△ABD中，AO是BD边上的中线，可得S△OAB=S△OAD．
同理可得△BCD中，S△OBC=S△OCD
∴S△OAB=S△OBC=S△OAD=S△OCD=
S△OAC
由此可得S△OAB：S△OBC：S△OAC=1：1：2
故选：D
∵OD是△OBC的中线，
∴向量
| OD |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| OC |
∵由已知得
| OA |
| OB |
| OC |
| 0 |
∴向量
| OB |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| OC |
因此可得：
| OD |
| OB |
即B、O、D三点共线，且O为BD的中点
∴△ABD中，AO是BD边上的中线，可得S△OAB=S△OAD．
同理可得△BCD中，S△OBC=S△OCD
∴S△OAB=S△OBC=S△OAD=S△OCD=
| 1 |
| 2 |
由此可得S△OAB：S△OBC：S△OAC=1：1：2
故选：D
点评：本题给出三角形ABC内部一点O满足的向量等式，求O与三角形的三个顶点构成三角形的面积比．着重考查了平面向量的加法法则、三角形中线的性质和求三角形面积比的方法等知识，属于中档题．
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