题目内容
在直角坐标平面xoy中,已知点F1(-5,0)与点F2(5,0),点P为坐标平面xoy上的一个动点,直线PF1与PF2的斜率
都存在,且
为一个常数.
(1)求动点P的轨迹T的方程,并说明轨迹T是什么样的曲线.
(2)设A、B是曲线T上关于原点对称的任意两点,点C为曲线T上异于点A、B的另一任意点,且直线AC与BC的斜率kAC与kBC都存在,若
,求常数λ的值.
解:(1)设P(x,y),则
由
得y2-λx2=-25λ(x≠±5)
∴动点P的轨迹T的方程为y2-λx2=-25λ(x≠±5)
①λ<-1时,轨迹T是一个焦点在y轴上且去除短轴的两个端点的椭圆;
②λ=-1时,轨迹T是一个圆心在坐标原点,半径为5且去掉与x轴的两个交点的圆;
③-1<λ<0时,轨迹T是一个焦点在x轴上且去除长轴的两个端点的椭圆;
④λ=0时,方程为y=0(x≠±5),轨迹T是去掉两个点的一条直线
⑤λ>0时,轨迹T是一个焦点在x轴上且去除实轴的两个端点的双曲线;
(2)设点A(x,y),则点B(-x,-y),设C(x0,y0),则
,
∵
∴
∴
①
∵A,C在曲线T上
∴y2=λx2-25λ(x≠±5),
代入①可得λ=-
分析:(1)设P(x,y),求得
,利用
可得动点P的轨迹T的方程,对λ讨论,可得轨迹;
(2)设点A(x,y),则点B(-x,-y),设C(x0,y0),则
,
,利用
,A,C在曲线T上,即可求得λ的值.
点评:本题考查轨迹与方程,考查斜率的计算,解题的关键是设点,利用斜率公式求解.

由

∴动点P的轨迹T的方程为y2-λx2=-25λ(x≠±5)
①λ<-1时,轨迹T是一个焦点在y轴上且去除短轴的两个端点的椭圆;
②λ=-1时,轨迹T是一个圆心在坐标原点,半径为5且去掉与x轴的两个交点的圆;
③-1<λ<0时,轨迹T是一个焦点在x轴上且去除长轴的两个端点的椭圆;
④λ=0时,方程为y=0(x≠±5),轨迹T是去掉两个点的一条直线
⑤λ>0时,轨迹T是一个焦点在x轴上且去除实轴的两个端点的双曲线;
(2)设点A(x,y),则点B(-x,-y),设C(x0,y0),则


∵

∴

∴

∵A,C在曲线T上
∴y2=λx2-25λ(x≠±5),

代入①可得λ=-

分析:(1)设P(x,y),求得


(2)设点A(x,y),则点B(-x,-y),设C(x0,y0),则



点评:本题考查轨迹与方程,考查斜率的计算,解题的关键是设点,利用斜率公式求解.

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