题目内容

在直角坐标平面xoy中，已知点F₁（-5，0）与点F₂（5，0），点P为坐标平面xoy上的一个动点，直线PF₁与PF₂的斜率 $数学公式$ 都存在，且 $数学公式$ 为一个常数．
（1）求动点P的轨迹T的方程，并说明轨迹T是什么样的曲线．
（2）设A、B是曲线T上关于原点对称的任意两点，点C为曲线T上异于点A、B的另一任意点，且直线AC与BC的斜率k_AC与k_BC都存在，若 $数学公式$ ，求常数λ的值．

解：（1）设P（x，y），则 $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ 得y²-λx²=-25λ（x≠±5）
∴动点P的轨迹T的方程为y²-λx²=-25λ（x≠±5）
①λ＜-1时，轨迹T是一个焦点在y轴上且去除短轴的两个端点的椭圆；
②λ=-1时，轨迹T是一个圆心在坐标原点，半径为5且去掉与x轴的两个交点的圆；
③-1＜λ＜0时，轨迹T是一个焦点在x轴上且去除长轴的两个端点的椭圆；
④λ=0时，方程为y=0（x≠±5），轨迹T是去掉两个点的一条直线
⑤λ＞0时，轨迹T是一个焦点在x轴上且去除实轴的两个端点的双曲线；
（2）设点A（x，y），则点B（-x，-y），设C（x₀，y₀），则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ①
∵A，C在曲线T上
∴y²=λx²-25λ（x≠±5）， $\text{[math]}$
代入①可得λ=- $\text{[math]}$
分析：（1）设P（x，y），求得 $\text{[math]}$ ，利用 $\text{[math]}$ 可得动点P的轨迹T的方程，对λ讨论，可得轨迹；
（2）设点A（x，y），则点B（-x，-y），设C（x₀，y₀），则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，利用 $\text{[math]}$ ，A，C在曲线T上，即可求得λ的值．
点评：本题考查轨迹与方程，考查斜率的计算，解题的关键是设点，利用斜率公式求解．

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