题目内容

在直角坐标平面xOy内，已知向量
OA
=（1，5），
OB
=（7，1），
OM
=（1，2），P为满足条件
OP
=t
OM
（t∈R）的动点．当
PA
•
PB
取得最小值时，求：（1）向量
OP
的坐标；（2）cos∠APB的值．
分析：（1）由题意知
OM
与
OP
共线，由向量共线定理可得?λ∈[0，1]使得
OP
=
λOM
=(λ，2λ)，由向量数量积的坐标表示可得f（λ）=5λ2-20λ+12，λ∈[0，1]结合二次函数在区间[0，1]的单调性可求函数的最小值及P的坐标；
（2）代入向量夹角公式cos ∠APB=
PA
•
PB
|
PA
|
|PB
|
求值
解答：解：（1）由题意，可设
OP
=(λ，2λ)，其中λ∈[0，1]，
则
PA
=(1-λ，5-2λ)，
PB
=(7-λ，1-2λ)
设 f(λ)=
PA
•
PB
，则f（λ）=（1-λ）（7-λ）+（5-2λ）（1-2λ）
=5λ2-20λ+12，λ∈[0，1]
又f（λ）在[0，1]上单调递减
∴当λ=1时f（λ）取得最小值，此时P点坐标为（1，2）
OP
=(1，2)
（2）
PA
=(0，3)，
PB
=(6，-1)
∴cos∠APB=
PA
•
PB
|
PA
||
PB
|
=
-3
3
37
=-
37
37
．
点评：本题考查平面向量共线定理，平面向量数量积的坐标表示，二次函数的单调性及最值的求解，向量夹角的坐标表示．熟练掌握向量的基础知识并能灵活运用是解决问题的关键．
练习册系列答案
相关题目
在直角坐标平面xOy上的一列点A1（1，a1），?A2（2，a2），?…，?An（n，an），?…，简记为{An}、若由bn=
AnAn+1
•
j
构成的数列{bn}满足bn+1＞bn，n=1，2，…，其中
j
为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{An}为T点列，
（1）判断A1( 1，  1)，?A2( 2，  
1
2
)，?A3( 3，  
1
3
)，?…，?An( n， 
1
n
 )，?…，是否为T点列，并说明理由；
（2）若{An}为T点列，且点A2在点A1的右上方、任取其中连续三点Ak、Ak+1、Ak+2，判断△AkAk+1Ak+2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；
（3）若{An}为T点列，正整数1≤m＜n＜p＜q满足m+q=n+p，求证：
AnAq
•
j
＞
AmAp
•
j
．
在直角坐标平面XOY上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），A3（3，a3），…An（n，an），…简记为{An}，若由bn=
AnAn+1
•
j
构成的数列{bn}满足bn+1＞bn，（n=1，2，…，n∈N） （其中
j
是与y轴正方向相同的单位向量），则称{An}为“和谐点列”．
（1）试判断：A1（1，1），A2(2，
1
2
)，A3(3，
1
22
)…An(n，
1
2n-1
)…是否为“和谐点列”？并说明理由．
（2）若{An}为“和谐点列”，正整数m，n，p，q满足：≤m＜n＜p＜q1，且m+q=n+p．求证：aq+am＞an+ap．
在直角坐标平面xoy上 的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），…，An（n，an），…，简记为{An}．若由bn=
AnAn+1
•
j
构成的数列{bn}满足bn+1＞bn（其中
j
是y轴正方向同向的单位向量），则称{An}为T点列．
（1）判断A1(1，1)，A2(2，
1
2
)，A3(3，
1
3
)…，An(n，
1
n
)，…是否为T点列；
（2）若{an}是等差数列，判断点列A1（1，a1），A2（2，a2），…，An（n，an），…是否为T点列，并说明理由；
若{an}是等比数列，判断点列A1（1，a1），A2（2，a2），…，An（n，an），…是否为T点列，并说明理由；
（3）若{An}为T点列，且点A2在点A1的右上方，任取其中连续三点AK，AK+1，AK+2，判断△AKAK+1AK+2的形状（锐角三角形，直角三角形，钝角三角形），并说明理由．
（2012•闵行区三模）规定：直线l到点F的距离即为点F到直线l的距离，在直角坐标平面xoy中，已知两定点F1（-1，0）与F2（1，0）位于动直线l：ax+by+c=0的同侧，设集合P={l|点F1与点F2到直线l的距离之和等于2}，Q={（x，y）|（x，y）∉l，l∈P}．则由Q中的所有点所组成的图形的面积是
π
π
．

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