Question

如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ(0＜θ＜

π

2

)．
（1）求证：平面VAB⊥平面VCD；
（2）当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围．

Answer 1

分析：解法一（几何法）（1）由已知中AC=BC，D是AB的中点，由等腰三角形三线合一，可得CD⊥AB，又由VC⊥底面ABC，由线面垂直的性质可得VC⊥AB，结合线面垂直的判定定理可得AB⊥平面VCD，再由面面垂直的判定定理可得平面VAB⊥平面VCD；
（2）过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，连接BH，可得∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角，设∠CBH=φ，根据CH=

2

2

asinθ=asinφ，易得到直线BC与平面VAB所成角的取值范围．
解法二（向量法）（1）以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分析求出

AB

，

CD

，

VD

易得根据向量数量积为0，得到CD⊥AB，VC⊥AB，结合线面垂直的判定定理可得AB⊥平面VCD，再由面面垂直的判定定理可得平面VAB⊥平面VCD；
（2）令直线BC与平面VAB所成的角为φ，求出平面VAB的一个法向量和

BC

，由向量夹角公式，易得到sin?=|

n• BC

|n|•| BC |

|=

2

2

sinθ，进而得到直线BC与平面VAB所成角的取值范围．

解答：解：法一（几何法）：
证明：（1）∵AC=BC=a
∴△ACB是等腰三角形，
又D是AB的中点∴CD⊥AB，
又VC⊥底面ABC∴VC⊥AB
于是AB⊥平面VCD．
又AB?平面VAB∴平面VAB⊥平面VCD
解：（2）过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，连接BH
则由（1）知AB⊥CH，∴CH⊥平面VAB
于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角．
在Rt△CHD中，CD=

2

2

a，CH=

2

2

asinθ；
设∠CBH=φ，在Rt△BHC中，CH=asinφ∴

2

2

sinθ=sinφ∵0＜θ＜

π

2

∴0＜sinθ＜1，0＜sinφ＜

2

2

又0≤φ≤

π

2

，∴0＜φ＜

π

4

即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为(0，

π

4

)．
法二（向量法）：
证明：（1）以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，D(

a

2

，

a

2

，0)，V(0，0，

2

2

atanθ)，
于是，

VD

=(

a

2

，

a

2

，-

2

2

atanθ)，

CD

=(

a

2

，

a

2

，0)，

AB

=(-a，a，0)．
从而

AB

•

CD

=(-a，a，0)•(

a

2

，

a

2

，0)=-

1

2

a2+

1

2

a2+0=0，即AB⊥CD．
同理

AB

•

VD

=(-a，a，0)•(

a

2

，

a

2

，-

2

2

atanθ)=-

1

2

a2+

1

2

a2+0=0，
即AB⊥VD．又CD∩VD=D，∴AB⊥平面VCD．
又AB?平面VAB．∴平面VAB⊥平面VCD．
解：（2）设直线BC与平面VAB所成的角为φ，平面VAB的一个法向量为n=（x，y，z），
则由n•

AB

=0，n•

VD

=0．
得

-ax+ay=0 a 2 x+ a 2 y- 2 2 aztanθ=0

可取n=(1，1，

2

cotθ)，又

BC

=(0，-a，0)，
于是sinφ=|

n• BC

|n|•| BC |

|=

a

a• 2+2cot2θ

=

2

2

sinθ，
∵0＜θ＜

π

2

，∴0＜sinθ＜1，0＜sinφ＜

2

2

．
又0≤φ≤

π

2

，∴0＜φ＜

π

4

．
即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为(0，

π

4

)．

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，其中方法一（几何法）的关键是熟练掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化，方法二（向量法）的关键是建立空间坐标系，将空间线线关系、线面夹角转化为向量夹角问题是解答本题的关键．