题目内容

已知a>0,函数(其中e为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数f(x)在区间(0,e]上的最小值;
(Ⅱ)设g(x)=x2-2bx+4,当a=1时,若对任意x1∈(0,e),存在x2∈[1,3],使得f(x1)≥g(x2),求实数b的取值范围.
【答案】分析:(Ⅰ)令,可得x=a,进而a≥e时,函数f(x)在区间(0,e]是减函数;0<a<e时,函数f(x)在区间(0,a]是减函数,[a,e]是增函数,故可求函数f(x)在区间(0,e]上的最小值;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,a=1时,函数f(x)在x1∈(0,e)的最小值为0,对任意x1∈(0,e),存在x2∈[1,3],使得f(x1)≥g(x2),则需要f(x)min≥g(x)min,根据g(x)=(x-b)2+4-b2,即可求出满足条件的实数b的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)令,可得x=a
若a≥e时,函数f(x)在区间(0,e]是减函数,∴
0<a<e时,函数f(x)在区间(0,a]是减函数,[a,e]是增函数,∴f(x)min=f(a)=lna;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,a=1时,函数f(x)在x1∈(0,e)的最小值为0,
对任意x1∈(0,e),存在x2∈[1,3],使得f(x1)≥g(x2),则需要f(x)min≥g(x)min
g(x)=(x-b)2+4-b2
当b≤1时,g(x)min=g(1)=5-2b≤0不成立
当b≥3时,g(x)min=g(3)=13-6b≤0恒成立
当1<b<3时,g(x)min=g(b)=4-b2≤0此时2≤b<3
综上知,满足条件的实数b的取值范围{b|b≥2}
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,解题的关键是将对任意x1∈(0,e),存在x2∈[1,3],使得f(x1)≥g(x2),转化为f(x)min≥g(x)min求解.
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