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如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处,AB=20km,BC=10km。为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界),且与A、B等距离的一点O处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道AO、BO、PO,设排污管道的总长度为ykm,
(Ⅰ)按下列要求建立函数关系:
(ⅰ)设∠BAO=θ(rad),将y表示为θ的函数;
(ⅱ)设PO=x(km),将y表示成x的函数;
(Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系,确定污水处理厂的位置,使铺设的排污管道的总长度最短.
试题答案
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解:(Ⅰ)(ⅰ)如图,延长PO交AB于点Q,
由题设可知
,AO=BO,PO=10-OQ,
在Rt△AQO中,
,
所以,
,
又易知
,
故y用θ表示的函数为
。
(ⅱ)由题设可知,在Rt△AQO中,
,
则
,显然0≤x≤10,
所以y用x表示的函数为
。
(Ⅱ)选用(Ⅰ)中的函数关系
,
来确定符合要求的污水处理厂的位置.
因为
,
所以
,
由y′=0得
,
因
,故
,
当
时,y′<0;当
时,y′>0,
所以函数y在
时取得极小值,这个极小值就是函数y在
上的最小值,
当
时,
。
因此,当污水处理厂建在矩形区域内且到A、B两点的距离均为
时, 铺设的排污管道的总长度最短.
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(1)按下列要求建立函数关系式:
(Ⅰ)设∠BAO=θ(rad),将y表示成θ的函数;
(Ⅱ)设OP=x(km),将y表示成x的函数;
(2)请你选用(1)中的一个函数关系确定污水处理厂的位置,使铺设的污水管道的总长度最短.
如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A,B及CD的中点P处.AB=20km,BC=10km.为了处理这三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界)且与A,B等距的一点O处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道AO,BO,PO.记铺设管道的总长度为ykm.
(1)按下列要求建立函数关系式:
(i)设∠BAO=θ(rad),将y表示成θ的函数;
(ii)设OP=x(km),将y表示成x的函数;
(2)请你选用(1)中的一个函数关系确定污水处理厂的位置,使铺设的污水管道的总长度最短.
如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A,B及CD的中点P处.AB=20km,BC=10km.为了处理这三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界)且与A,B等距的一点O处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道AO,BO,PO.记铺设管道的总长度为ykm.
(1)按下列要求建立函数关系式:
(i)设∠BAO=θ(rad),将y表示成θ的函数;
(ii)设OP=x(km),将y表示成x的函数;
(2)请你选用(1)中的一个函数关系确定污水处理厂的位置,使铺设的污水管道的总长度最短.
如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A,B及CD的中点P处.AB=20km,BC=10km.为了处理这三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界)且与A,B等距的一点O处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道AO,BO,PO.记铺设管道的总长度为ykm.
(1)按下列要求建立函数关系式:
(i)设∠BAO=θ(rad),将y表示成θ的函数;
(ii)设OP=x(km),将y表示成x的函数;
(2)请你选用(1)中的一个函数关系确定污水处理厂的位置,使铺设的污水管道的总长度最短.
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(ii)设OP=x(km),将y表示成x的函数;
(2)请你选用(1)中的一个函数关系确定污水处理厂的位置,使铺设的污水管道的总长度最短.
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