Question

设a，b，c是互不相等的正数，则在四个不等式：
（1）|a-b|≤|a-c|+|b-c|；     
（2）a2+

1

a2

≥a+

1

a

；
（3）|a-b|+

1

a-b

≥2；         
（4）

a+3

-

a+1

≤

a+2

-

a

其中恒成立的有

（1）（2）（4）

（把你认为正确的答案的序号都填上）

Answer 1

分析：本题主要考查不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全题干，必须结合选择支，才能得出正确的结论．可运用排除法．

解答：解：（1）：|a-b|=|a-c+c-b|≤|a-c|+|c-b|=|a-c|+|b-c|，故（1）恒成立
（2）：由于由于函数f（x）=x+

1

x

在（0，1]单调递减，在[1，+∞）单调递增
当a＞1时，a²＞a＞1，f（a²）＞f（a）即，a²+

1

a2

＞a+

1

a

，
当0＜a＜1，0＜a²＜a＜1，f（a²）＞f（a）即a²+

1

a2

＞a+

1

a

，
当a=1，a²+

1

a2

＞a+

1

a

．
故（2）恒成立；
（3）：若a-b=-1，则该不等式不成立，故（3）不恒成立；
（4）：由于

a+3

-

a+1

=

2

a+3 + a+1

＜

2

a+2 + a

=

a+2

-

a

．故C恒成立．
故答案为 （1）（2）（4）

点评：本题主要考查了不等式比较大小，基本不等式的应用放缩法证明不等式等．要灵活运用公式，牢记公式a²+b²≥2ab成立的条件．