题目内容
某工厂有14m长的旧墙一面，现在准备利用这面旧墙，建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房，工程条件为：①建1m新墙的费用为a元；②修1m旧墙的费用为
元；③拆去1m旧墙，用所得材料建造1m新墙的费用为
元．经过讨论有两种方案：
（Ⅰ）利用旧墙的一段xm（x＜14）为矩形厂房一面的边长；
（Ⅱ）矩形厂房利用旧墙的一面边长为x（x≥14）．
问：如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？（Ⅰ）（Ⅱ）两种方案哪个更好？
| a |
| 4 |
| a |
| 2 |
（Ⅰ）利用旧墙的一段xm（x＜14）为矩形厂房一面的边长；
（Ⅱ）矩形厂房利用旧墙的一面边长为x（x≥14）．
问：如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？（Ⅰ）（Ⅱ）两种方案哪个更好？
分析：（Ⅰ）分别求出修旧墙费用、将剩余的旧墙拆得材料建新墙的费用及建新墙的费用，得到总费用后利用基本不等式求费用的最小值；
（Ⅱ）求出修旧墙的费用及建新墙的费用，作和后利用函数的单调性求出费用最小值，比较大小后即可得到答案．
（Ⅱ）求出修旧墙的费用及建新墙的费用，作和后利用函数的单调性求出费用最小值，比较大小后即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）设利用旧墙的一面矩形边长为xm，则矩形的另一边长为
m．
利用旧墙的一段xm（x＜14）为矩形一面边长，则修旧墙费用为x•
元．
将剩余的旧墙拆得材料建新墙的费用为（14-x）•
元，其余建新墙的费用为(2x+
-14)•a元．
故总费用为：
y=x•
+
•a+(2x+
-14)•a=7a(
+
-1)，（0＜x＜14）．
∴y≥7a[2
-1]=35a．
当且仅当
=
，即x=12m时，ymin=35a（元）；
（Ⅱ）若利用旧墙的一面矩形边长为x≥14，则修旧墙的费用为
•14=
a元，
建新墙的费用为(2x+
-14)a元．
故总费用为y=
a+(2x+
-14)a=
a+2a(x+
-7)，（x≥14）．
设14≤x1＜x2，则x1-x2＜0，x1x2＞196．
则(x1+
)-(x2+
)=(x1-x2)(1-
)＜0．
∴函数y=x+
在区间[14，+∞）上为增函数．
故当x=14时，ymin=
a+2a(14+
-7)=35.5a＞35a．
综上可知，采用第（Ⅰ）方案，建墙总费用最省，为35a元．
| 126 |
| x |
利用旧墙的一段xm（x＜14）为矩形一面边长，则修旧墙费用为x•
| a |
| 4 |
将剩余的旧墙拆得材料建新墙的费用为（14-x）•
| a |
| 2 |
| 2×126 |
| x |
故总费用为：
y=x•
| a |
| 4 |
| 14-x |
| 2 |
| 252 |
| x |
| x |
| 4 |
| 36 |
| x |
∴y≥7a[2
|
当且仅当
| x |
| 4 |
| 36 |
| x |
（Ⅱ）若利用旧墙的一面矩形边长为x≥14，则修旧墙的费用为
| a |
| 4 |
| 7 |
| 2 |
建新墙的费用为(2x+
| 252 |
| x |
故总费用为y=
| 7 |
| 2 |
| 252 |
| x |
| 7 |
| 2 |
| 126 |
| x |
设14≤x1＜x2，则x1-x2＜0，x1x2＞196．
则(x1+
| 126 |
| x1 |
| 126 |
| x2 |
| 126 |
| x1x2 |
∴函数y=x+
| 126 |
| x |
故当x=14时，ymin=
| 7 |
| 2 |
| 126 |
| 14 |
综上可知，采用第（Ⅰ）方案，建墙总费用最省，为35a元．
点评：本题考查了根据实际问题选择函数模型，考查了简单的数学建模思想方法，训练了利用基本不等式和函数的单调性求函数的最值，是中档题．
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