题目内容

平面上的向量
PA
，
PB
满足
PA
2+
PB
2=4，且
PA
•
PB
=0，若向量
PC
=
1
3
PA
+
2
3
PB
，则|
PC
|的
最大为
 
．
分析：设|
PA
|=x  ， |
PB
|=y，则x2+y2=4，要求|
PC
|的最小值，可先表示|
PC
|=
PC
2
，把已知向量
PC
 = 
1
3
PA
+
2
3
PB
代入可转化为关于x的二次函数，根据二次函数的性质可求
解答：解：向量
PA
，
PB
满足
PA
2+
PB
2=4，且
PA
•
PB
=0
∵向量
PC
 = 
1
3
PA
+
2
3
PB

设|
PA
|=x  ， |
PB
|=y，则x2+y2=4
则|
PC
|=
(
1
3
PA
 +
2
3
PB
) 2
=
1
9
PA
2+
4
9
 
PB
2

=
1
9
x2+
4
9
y2
=
x2
9
+
4(4-x2)
9

=
-
1
3
x2+
16
9
 

当x=0时 |
PC
|=
4
3
为最大值
故答案为：
4
3
点评：求向量的模一般有两种情况：若已知向量的坐标，或向量起点和终点的坐标，则|
a
|=
x2+y2
或|
AB
|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2
；若未知向量的坐标，则求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积的性质|
a
|=
a
2
进行计算，本题主要考查的是第二种方法的应用．
练习册系列答案
相关题目
设平面内的向量
OA
=(-1，-3)，
OB
=(5，3)，
OM
=(2，2)，点P在直线OM上，且
PA
•
PB
=16．
（Ⅰ）求
OP
的坐标；
（Ⅱ）求∠APB的余弦值；
（Ⅲ）设t∈R，求|
OA
+t
OP
|的最小值．
给出以下5个命题：
①曲线x2-（y-1）2=1按
a
=(1，-2)平移可得曲线（x+1）2-（y-3）2=1；
②设A、B为两个定点，n为常数，|
PA
|-|
PB
|=n，则动点P的轨迹为双曲线；
③若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P是该椭圆上的任意一点，延长F1P到点M，使|F2P|=|PM|，则点M的轨迹是圆；
④A、B是平面内两定点，平面内一动点P满足向量
AB
与
AP
夹角为锐角θ，且满足 |
PB
| |
AB
| +
PA
•
AB
=0，则点P的轨迹是圆（除去与直线AB的交点）；
⑤已知正四面体A-BCD，动点P在△ABC内，且点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等，则动点P的轨迹为椭圆的一部分．
其中所有真命题的序号为
 
．
设平面内的向量
OA
=(1，7)，
OB
=(5，1)，
OM
=(2，1)，点P是直线OM上的一个动点，且
PA
•
PB
=-8，求
OP
的坐标及∠APB的余弦值．
设平面内的向量
OA
=(1，7)，
OB
=(5，1)，
OM
=(2，1)，点P是直线OM上的一个动点，求当
PA
•
PB
取最小值时，
OP
的坐标及∠APB的余弦值．

本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。K^S*5U.C#O
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知向量=，变换T的矩阵为A=，平面上的点P（1，1）在变换T
作用下得到点P′（3，3），求A4.
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
直线与圆（>0）相交于A、B两点，设
P（－1，0），且|PA|:|PB|=1:2，求实数的值
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲K^S*5U.C#O
对于x∈R，不等式|x－1|+|x－2|≥2+2恒成立，试求2+的最大值。

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