题目内容

已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：x2+y2=25．点O为坐标原点，点M是圆C2上的一动点，线段OM交圆C1于N，过点M作x轴的垂线交x轴于M0，过点N作M0M的垂线交M0M于P．
（1）当动点M在圆C2上运动时，求点P的轨迹C的方程．
（2）设直线l：y=
x
5
+m与轨迹C交于不同的两点，求实数m的取值范围．
（3）当m=
5
5
时，直线l与轨迹C相交于A，B两点，求△OAB的面积．
分析：（1）设出点P的坐标，可以表示出或设出点M，N的坐标，再根据点M，N分别在圆C2，C1上，即可用点P的坐标表示点M的坐标，用“代点法”即可得出；
（2）利用（1）的轨迹C的方程与直线方程联立，消去一个未知数得到关于另一个未知数的一元二次方程，由于直线l与轨迹C交于不同的两点，必须满足△＞0即可求出；
（3）利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出．
解答：解（1）设点P（x，y）．则M（x，yM），N（xN，y）．从而
OM
=(x，yM)，
ON
=(xN，y)
∵
OM
=
5
2
ON
，∴(x，yM)=
5
2
(xN，y)．即x=
5
2
xN，yM=
5
2
y．∴M(x，
5
2
y)．
∵点M在圆C2上，∴x2+(
5
2
y)2=25．整理得点P的轨迹C的方程：
x2
25
+
y2
4
=1．
（2）联立
x2
25
+
y2
4
=1
y=
x
5
+m
消y得到x2+2mx+5m2-20=0．
∵直线l：y=
x
5
+m与轨迹C交于不同的两点，∴△=（2m）2-4（5m2-20）＞0，即m2＜5．
∴实数m的取值范围为(-
5
，
5
)．
（3）直线l：y=
x
5
+
5
5
．设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
x2
25
+
y2
4
=1
y=
x
5
+
5
5
消x得到x2+
2
5
5
x-19=0．
则x1+x2=-
2
5
5
，x1x2=-19．
|AB|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
(x1-x2)2+[(
x1
5
+
5
5
)-(
x2
5
+
5
5
)]2

=
26
5
(x1-x2)2
=
26
5
(x1+x2)2-4x1x2
=
26
5
×
8
6
5
．
直线l：x-5y+
5
=0．设O到直线AB的距离为d，则d=
|0-5×0+
5
|
1+52
=
5
26
．
S△OAB=
1
2
|AB|d=
1
2
×
26
5
×
8
6
5
×
5
26
=
4
6
5
．
点评：熟练掌握直线与圆锥曲线的相交问题转化为关于一个未知数的一元二次方程求解问题进而转化为△与0的大小比较问题、“代点法”、弦长公式、点到直线的距离公式是解题的关键．
练习册系列答案
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（2013•惠州二模）已知圆C1：x2+y2=2和圆C2，直线l与C1切于点M（1，1），圆C2的圆心在射线2x-y=0（x≥0）上，且C2经过坐标原点，如C2被l截得弦长为4
3
．
（1）求直线l的方程；
（2）求圆C2的方程．
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（1）求直线l的方程；
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2
？荐存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
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（1）求证：MA⊥MB．
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S1S2
=λ，求λ的取值范围．

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