Question

选修4-5《不等式选讲》．
已知a+b=1，对?a，b∈（0，+∞），使

1

a

+

4

b

≥|2x-1|-|x+1|恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析：利用基本不等式求得

1

a

+

4

b

的最小值等于9，由题意可得|2x-1|-|x+1|≤9，分x≤-1时，-1＜x＜

1

2

 时，x≥

1

2

 时，
三种情况分别求出不等式的解集，再取并集，即得结果．

解答：解：∵a+b=1，且 a＞0，b＞0，∴

1

a

+

4

b

=（a+b）（

1

a

+

4

b

 ）=5+

b

a

+

4a

b

≥5+2

4

=9，
故 

1

a

+

4

b

 的最小值等于9． 要使

1

a

+

4

b

≥|2x-1|-|x+1|恒成立，所以，|2x-1|-|x+1|≤9．
当 x≤-1时，2-x≤9，∴-7≤x≤-1．  当-1＜x＜

1

2

 时，-3x≤9，∴-1＜x＜

1

2

．
当x≥

1

2

 时，x-2≤9，∴≤

1

2

 x≤11．
综上，-7≤x≤11．

点评：本题考查基本不等式的应用，绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想．
关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解．