题目内容

如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“Л型函数”．则下列函数：①f(x)=
x
；②g（x）=sinx，x∈（0，π）；③h（x）=lnx，x∈[2，+∞），其中是“Л型函数”的序号为
 
．
分析：任意一个三角形三边长满足任意两边之和大于第三边，故由新定义知，判断是否为“Л型函数”，即判断a+b＞c时，是否一定有f（a）+f（b）＞f（c），①③可由基本不等式判断，②取特值；分析可得答案．
解答：解：设0＜a≤b≤c，a+b＞c，欲证明
a
+
b
＞
c
，
只需证明a+b+2
ab
＞c，成立．①是“Л型函数”；
取a=
π
2
，b=
5π
6
，c=
5π
6
，而sinb+sinc=sina，②不是“Л型函数”；
（a-2）（b-2）≥0，ab-2（a+b）+4≥0，ab≥（a+b）+（a+b）-4＞（a+b）＞c，
③是“Л型函数”
故答案为：①③
点评：本题为新定义题，正确理解定义是解题的关键，考查综合分析和解决问题的能力．
练习册系列答案
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如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．
（1）判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论：
①f（x）=
x
；    ②g（x）=sinx （x∈（0，π））．
（2）若函数h（x）=lnx （x∈[M，+∞））是保三角形函数，求M的最小值．
已知函数f（x），如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．在函数①f1(x)=
x
，②f2（x）=x，③f3（x）=x2中，其中
 
是“保三角形函数”．（填上正确的函数序号）
如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则f（x）均为“V型函数”．则下列函数：
①f（x）=
x
；  ②g（x）=sinx，x∈（0，π）；③h（x）=lnx，x∈[2，+∞），其中是“V型函数”的序号为（　　）
（文）一个函数f（x），如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“三角形函数”．
（1）判断f1（x）=
x
，f2（x）=x，f3（x）=x2中，哪些是“三角形函数”，哪些不是，并说明理由；
（2）如果g（x）是定义在R上的周期函数，且值域为（0，+∞），证明g（x）不是“三角形函数”；
（3）若函数F（x）=sinx，x∈（0，A），当A＞
5π
6
时，F（x）不是“三角形函数”．

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