Question

如图（1），三棱锥P′-A′BC′中，P′A′⊥平面A′BC′，△A′BC′是正三角形，E是P′C′的中点；如图（2），PA⊥平面ACD，∠ACD=90°，∠DAC=30°．若△P′A′C′≌△PAC，现将两个三棱锥拼接成四棱锥P-ABCD，使得面△P′A′C′与面PAC完全重合．解答下列问题：
（1）图（1）中，在边P′B上是否存在点F，使得FE∥平面A′BC′？若存在，说出F点位置；若不存在，说明理由；
（2）在四棱锥P-ABCD中，已知PA=AC=

3

．
    ①求证：CD⊥AE；
    ②求棱锥E-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，再利用线面平行的判定，可得线面平行；
（2）①利用线面垂直的判定证明线面垂直，可得线线垂直；
②连接BE，ED，取AC中点G，连接EG，则EG∥PA，EG⊥平面ABCD，从而可求棱锥E-ABCD的体积．

解答：（1）解：取P′B中点F，连接FE，则FE∥BC′
∵FE?平面A′BC′，BC′?平面A′BC′，
∴FE∥平面A′BC′；
（2）如图，由于P′A′⊥平面A′BC′，PA⊥平面ACD，∴A，B，C，D四点共面
①证明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD
∵AC⊥CD，PA∩AC=A
∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥AE
②解：连接BE，ED，取AC中点G，连接EG，则EG∥PA
∵PA⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD，EG=

3

2

，…（10分）
又S四边形=S正△ABC+SRt△ACD=

3

4

(

3

)2+

1

2

×

3

×1=

5 3

4

，…（11分）
则VE-ABCD=

1

3

S四边形ABCD×EG=

1

3

×

5 3

4

×

3

2

=

5

8

；　　…（12分）

点评：本题考查线面平行，考查线面垂直，考查四棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．