Question

2．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₅=9，S₁₀=100．
（Ⅰ）求通项a_n；
（Ⅱ）记数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的前n项和为T_n，数列{$\frac{1}{{S}_{n+1}-{T}_{n+1}}$}的前n项和为U_n，求证：U_n＜2．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₅=9，S₁₀=100．利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=9}\\{10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}d=100}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）由（1）可得：S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，$\frac{{S}_{n}}{n}$=n，T_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，可得$\frac{1}{{S}_{n+1}-{T}_{n+1}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 （1）解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₅=9，S₁₀=100．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=9}\\{10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}d=100}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）证明：由（1）可得：S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=n，∴T_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴S_n+1-T_n+1=（n+1）²-$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$=$\frac{n（n+1）}{2}$．
∴$\frac{1}{{S}_{n+1}-{T}_{n+1}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴{$\frac{1}{{S}_{n+1}-{T}_{n+1}}$}的前n项和为U_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$＜2．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．