Question

已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数．当a，b∈[－1，1]，且a＋b≠0时，有＞0．

(Ⅰ)判断函数f(x)的单调性，并给以证明；

(Ⅱ)(理)若f(1)＝1且f(x)≤m²－2bm＋1对所有x∈[－1，1]，b∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)证明：设x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，在＞0中，令a＝x1，b＝－x2， 　　有＞0，∵x1＜x2，∴x1－x2＜0 　　又∵f(x)是奇函数，∴f(－x2)＝－f(x2)∴＞0 　　∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，故f(x)在[－1，1]上为增函数． 　　(Ⅱ)解：∵f(1)＝1且f(x)在[－1，1]上为增函数．对x∈[－1，1]，有f(x)≤f(1)＝1．由题意，对所有的x∈[－1，1]，b∈[－1，1]，f(x)≤m2－2bm＋1恒成立，应有m2－2bm＋1≥1m2－2bm≥0． 　　记g(b)＝－2mb＋m2，对所有b∈[－1，1]，g(b)≥0成立． 　　只需g(b)在[－1，1]上的最小值不小于零． 　　若m＞0时，g(b)＝－2mb＋m2是减函数，故在[－1，1]上，b＝1时有最小值，且[g(b)]最小值＝g(1)＝－2m＋m2≥0m≥2； 　　若m＝0时，g(b)＝0这时[g(b)]最小值＝0满足已知，故m＝0；若m＜0时，g(b)＝－2mb＋m2是增函数，故在[－1，1]上，b＝－1时有最小值，且[g(b)]最小值＝g(－1)＝2m＋m2≥0M≤－2．　　综上可知，符合条件m的取值范围是：m∈(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．