题目内容
已知命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( )
分析:先利用导数知识,确定原命题为真命题,从而逆否命题为真命题,即可得到结论.
解答:解:∵f(x)=ex-mx,∴f′(x)=ex-m
∵函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数
∴ex-m≥0在(0,+∞)上恒成立
∴m≤ex在(0,+∞)上恒成立
∴m≤1
∴命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,是真命题,
∴逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题
∵m≤1时,f′(x)=ex-m≥0在(0,+∞)上不恒成立,即函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不一定是增函数,∴逆命题“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”是真命题,即B不正确
故选D.
∵函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数
∴ex-m≥0在(0,+∞)上恒成立
∴m≤ex在(0,+∞)上恒成立
∴m≤1
∴命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,是真命题,
∴逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题
∵m≤1时,f′(x)=ex-m≥0在(0,+∞)上不恒成立,即函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不一定是增函数,∴逆命题“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”是真命题,即B不正确
故选D.
点评:本题考查四种命题的改写,考查命题真假的判定,判断原命题的真假是关键.
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