题目内容

已知函数f(t)=log2t，t∈ [
2
，8]．
（1）求f（t）的值域G；
（2）若对于G内的所有实数x，函数g（x）=x2-2x-m2有最小值-2，求实数m的值．
分析：（1）利用对数函数的单调性求得log2
2
≤log2t≤log28，由此求得f（t）的值域G．
（2）函数g（x）=x2-2x-m2 =（x-1）2-1-m2，根据二次函数的性质以及它在闭区间上的最小值为2，求得实数m的值．
解答：解：（1）∵f（t）=log2t在t∈[
2
，8]上是单调递增的，∴log2
2
≤log2t≤log28．
即
1
2
≤f（t）≤3．∴f（t）的值域G为[
1
2
，3]．------（7分）
（2）函数g（x）=x2-2x-m2 =（x-1）2-1-m2，
∴当x=1时，函数g（x）有最小值-1-m2=-2，解得m=±1．
点评：本题主要考查二次函数在闭区间上的最值，利用对数函数的单调性求值域的方法，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=
ax
x2+b
，在x=1处取得极值2．
（1）求函数f（x）的解析式
（2）m满足什么条件时，区间（m，2m+1）为函数f（x）的单调增区间；
（3）若P（x0，y0）为f（x）=
ax
x2+b
图象上任意一点，直线/与．f（x）的图象切于P点，不妨设直线l的斜率为对于任意的x0∈R和对于任意的t∈[4，5]，均有k≥c（t2-2t-3）恒成立，求实数c的取值范围．
设t＞0，已知函数f （x）=x2（x-t）的图象与x轴交于A、B两点．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率为k，当x0∈（0，1]时，k≥-
12
恒成立，求t的最大值；
（3）有一条平行于x轴的直线l恰好与函数y=f（x）的图象有两个不同的交点C，D，若四边形ABCD为菱形，求t的值．
①．已知函数f（t）=|t+1|-|t-3|．则f（t）＞2的解为
t＞2
t＞2

②．在直角坐标系中，直线l的参数方程为
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=
2
cos(θ+
π
4
)，则直线l被曲线C所截得的弦长为
7
5
7
5
．
已知函数f（x）=（x2-3x+3）ex，x∈[-2，t]（t＞-2）
（1）当t＜l时，求函数f（x）的单调区间；
（2）比较f（-2）与f （t）的大小，并加以证明；
（3）当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为函数的保值区间，设g（x）=f（x）+（x-2）ex，试问函数g（x）在（1，+∞）上是否存在保值区间？若存在，请求出一个保值区间；若不存在，请说明理由．

已知函数f(t)对任意实数x、y，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋3xy(x＋y＋2)＋3，f(1)＝l．

(1)

若t∈N*，试求f(t)的表达式

(2)

满足条件f(t)＝t的所有整数能否构成等差数列？若能构成等差数列，求出此数列；若不能构成等差数列，请说明理由．

(3)

若t∈N*，且t≥4时，f(t)≥mt2＋(4m＋1)t＋3m恒成立，求实数m的最大值．

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