题目内容
设f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导函数为f′（x），且对任意正数x均有f′（x）＞| f(x) |
| x |
（Ⅰ）判断函数F（x）=
| f(x) |
| x |
（Ⅱ）设x1，x2∈（0，+∞），比较f（x1）+f（x2）与f（x1+x2）的大小，并证明你的结论．
分析：（I）先求出F′（x）=
，然后根据条件对任意正数x均有f′（x）＞
，确定出F′（x）的符号，得到函数在（0，+∞）上的单调性；
（II）根据F（x）在（0，+∞）上是增函数得到F（x1）＜F（x1+x2），化简变形可得（x1+x2）f（x1）＜x1f（x1+x2），同理可得（x1+x2）f（x2）＜x2f（x1+x2），将两式相加即可判定出f（x1）+f（x2）与f（x1+x2）的大小．
| xf′(x)-f(x) |
| x |
| f(x) |
| x |
（II）根据F（x）在（0，+∞）上是增函数得到F（x1）＜F（x1+x2），化简变形可得（x1+x2）f（x1）＜x1f（x1+x2），同理可得（x1+x2）f（x2）＜x2f（x1+x2），将两式相加即可判定出f（x1）+f（x2）与f（x1+x2）的大小．
解答：解：（Ⅰ）由于f′（x）＞
得，
＞0，而x＞0，
则xf′（x）-f（x）＞0，
则F′（x）=
＞0，因此F（x）=
在（0，+∞）上是增函数．（6分）
（Ⅱ）由于x1，x2∈（0，+∞），则0＜x1＜x1+x2，
而F（x）=
在（0，+∞）上是增函数，
则F（x1）＜F（x1+x2），即
＜
，
∴（x1+x2）f（x1）＜x1f（x1+x2）（1），（9分）
同理（x1+x2）f（x2）＜x2f（x1+x2）（2）（11分）
（1）+（2）得：（x1+x2）[f（x1）+f（x2）]＜（x1+x2）f（x1+x2），而x1+x2＞0，
因此f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）（14分）
| f(x) |
| x |
| xf′(x)-f(x) |
| x |
则xf′（x）-f（x）＞0，
则F′（x）=
| xf′(x)-f(x) |
| x |
| f(x) |
| x |
（Ⅱ）由于x1，x2∈（0，+∞），则0＜x1＜x1+x2，
而F（x）=
| f(x) |
| x |
则F（x1）＜F（x1+x2），即
| f(x1) |
| x1 |
| f(x1+x2) |
| x1+x2 |
∴（x1+x2）f（x1）＜x1f（x1+x2）（1），（9分）
同理（x1+x2）f（x2）＜x2f（x1+x2）（2）（11分）
（1）+（2）得：（x1+x2）[f（x1）+f（x2）]＜（x1+x2）f（x1+x2），而x1+x2＞0，
因此f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）（14分）
点评：本题主要考查了导数在最大值、最小值问题中的应用，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力和分析问题的能力，属于基础题．
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