Question

已知，椭圆C以双曲线的焦点为顶点，以双曲线的顶点为焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于M、N两点（M、N不是左右顶点），且以线段MN为直径的圆过点A（2，0），求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

解：根据题意：双曲线的焦点坐标为（-2，0），（2，0），顶点坐标为（-1，0），（1，0）
∵椭圆C以双曲线的焦点为顶点，以双曲线的顶点为焦点．
∴椭圆的顶点为（-2，0），（2，0），焦点坐标为2，（-1，0），（1，0）
∴a=2，b=3
∴椭圆的方程是：
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） 联立y=kx+m，
整理得：（3+4k²）x²+8mkx+4m²-12=0
△=64m²k²-4（4k²+3）（4m²-12）＞0
解得：m²＜4k²+3 ①
由韦达定理：x₁+x₂=-8mk/（3+4k²）．x₁x₂=（4m₂-12）/（3+4k²）
所以y₁y₂=k²x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²=（3m²-12k²）/（3+4k²）
因为以MV为直径的圆过椭圆C的右顶点A（2，0）
所以
∴7m²+16mk+4k²=0
解得：m₁=-2k/7，m₂=-2k
经检验，当m=-2k/7或m=-2k时，①式均成立
而当m=-2k时，直线l：y=k（x-2），过右顶点，不合题意所以m=-2k/7，
∴直线l：y=k（x-2/7）．过定点（2/7，0）
分析：（1）先由双曲线求出相应的实半轴，虚半轴和半焦距，再利用椭圆和双曲线的关系求解．
（2）由以线段MN为直径的圆过点A（2，0），则线段MN对应的圆周角为直角，有，再由M，N是直线与椭圆的交点求解．
点评：本题主要考查圆锥曲线间的关系及性质的应用，同时考查直线与椭圆的位置关系在解决平面图形中的应用．