题目内容
过点P（1，4）引一条直线l，使它在两条坐标轴上的截距都是正数且它们的和最小，求直线l的方程．
分析：设直线方程为
+
=1（a＞0，b＞0），得
+
=1，进而得到l在两条坐标轴上的截距的和a+b=（a+b）（
+
）=5+
+
，最后利用基本不等式求最值，根据取等号的条件得出a、b之值，即可得出直线l的方程．
| x |
| a |
| y |
| b |
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
| b |
| a |
| 4a |
| b |
解答：解：设直线方程为
+
=1（a＞0，b＞0）
∵P（1，4）在直线l上，
∴
+
=1，
由此可得直线l在两条坐标轴上的截距的和满足
a+b=（a+b）（
+
）=5+
+
∵a＞0，b＞0，得
+
≥2
=4
∴当且仅当
=
=2时，即a=3且b=6时，
直线l在两条坐标轴上的截距的和得最小值为5+4=9
此时直线方程为
+
=1，即2x+y-6=0
∴直线l的方程是2x+y-6=0．
| x |
| a |
| y |
| b |
∵P（1，4）在直线l上，
∴
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
由此可得直线l在两条坐标轴上的截距的和满足
a+b=（a+b）（
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
| b |
| a |
| 4a |
| b |
∵a＞0，b＞0，得
| b |
| a |
| 4a |
| b |
|
∴当且仅当
| b |
| a |
| 4a |
| b |
直线l在两条坐标轴上的截距的和得最小值为5+4=9
此时直线方程为
| x |
| 3 |
| y |
| 6 |
∴直线l的方程是2x+y-6=0．
点评：本题给出经过点P（1，4）且与两坐标轴交于正半轴的直线l，求l在两轴截距和最小时直线l的方程，着重考查了直线的基本量与基本形式和基本不等式等知识，属于中档题．
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