题目内容

已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上,当正六棱柱的体积最大(柱体体积=底面积高)时,其高的值为(   )
A.B.C.D.
B
本题在空间几何体、导数的应用交汇处命制,解题的关键是建立正六棱柱体积的函数关系式。考生如果对选修系列四的《不等式选讲》较为熟悉的话,求函数的条件可以使用三个正数的均值不等式进行,
,等号成立的条件是,即。根据正六棱柱和球的对称性,球心必然是正六棱柱上下底面中心连线的中点,作出轴截面即可得到正六棱柱的底面边长、高和球的半径的关系,在这个关系下求函数取得最值的条件即可求出所要求的量。
解:以正六棱柱的最大对角面作截面,如图。设球心为,正六棱柱的上下底面中心分别为,则的中点。设正六棱柱的底面边长为,高为,则。正六棱柱的体积为,即,则,得极值点,不难知道这个极值点是极大值点,也是最大值点。故当正六棱柱的体积最大,其高为
练习册系列答案
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